Вычислим следующий определенный интеграл используя формулу Ньютона - Лейбница:
\[{\int\limits_0^1 {\frac{x}{{{{\left( {4{x^2} - 1} \right)}^3}}}dx}  }.\]

Решение. Произведем замену переменной \(x\) на переменную \(t\) следующим образом:

\[
{t = 4{x^2} - 1,}\;\;
{\Rightarrow dt = 8xdx,}\;\;
{\Rightarrow xdx = \frac{{dt}}{8}.}
\]

Отсюда,

\[
{x = 0,}\;\;
{\Rightarrow t = 4\cdot 0^2 - 1 = -1.}
\]

\[
{x = 1,}\;\;
{\Rightarrow t = 4\cdot 1^2 - 1 = 3.}
\]

\[{\int\limits_0^1 {\frac{x}{{{{\left( {4{x^2} - 1} \right)}^3}}}dx}  }
= {\int\limits_{ - 1}^3 {\frac{{\frac{{dt}}{8}}}{{{t^3}}}}  }
= {\frac{1}{8}\int\limits_{ - 1}^3 {{t^{ - 3}}dt}  } = \\
= {\frac{1}{8}\left. {\left( {\frac{{{t^{ - 2}}}}{{ - 2}}} \right)} \right|_{ - 1}^3 }
= { - \frac{1}{{16}}\left( {\frac{1}{9} - \frac{1}{(-1)^2}} \right) }
= { - \frac{1}{{16}}\cdot\left( {- \frac{8}{9}} \right) }
= {\frac{1}{{18}}}.\]